4.3 Modelos não estacionários para séries temporais Os modelos apresentados até agora são baseados na suposição da estacionararia, ou seja, a média e a variância do processo subjacente são constantes e as autocovariâncias dependem apenas do atraso do tempo. Mas muitas séries temporais econômicas e de negócios não são estacionárias. As séries temporais não estacionárias podem ocorrer de muitas maneiras diferentes. Em particular, as séries temporais econômicas geralmente mostram níveis de mudança de tempo, (ver gráfico (b) na figura 4.1) e / ou variações (ver gráfico (c) na figura 4.1). 4.3.1 Não Estacionário na Variância Quando uma série temporal não é estacionária em variância, precisamos de uma transformação estabilizadora de variância apropriada. É muito comum que a variação de um processo não estacionário seja alterada à medida que seu nível muda. Assim, vamos assumir que a variância do processo é: para alguma constante positiva e alguma função conhecida. O objetivo é encontrar uma função tal que a série transformada tenha uma variância constante. Expansão em uma série de Taylor de primeira ordem em torno de: onde é a primeira derivada de avaliada em. A variância de pode ser aproximada como: Assim, a transformação deve ser escolhida de modo que: Por exemplo, se o desvio padrão de uma série é proporcional ao seu nível, então e a transformação deve satisfazer. Isso implica que . Assim, uma transformação logarítmica da série dará uma variância constante. Se a variância de uma série é proporcional ao seu nível, então, então, uma transformação de raiz quadrada da série, dará uma variância constante. De forma mais geral, para estabilizar a variância, podemos usar a transformação de energia introduzida por Box e Cox (1964). Onde é chamado de parâmetro de transformação. Deve-se notar que, freqüentemente, a transformação de Box-Cox não só estabiliza a variância, mas também melhora a aproximação da normalidade do processo. 4.3.2 Nonstationarity na Mean One das características dominantes de muitas séries temporais econômicas e de negócios é a tendência. Tendência é uma evolução lenta e de longo prazo nas variáveis que queremos modelar. Nas séries temporais de negócios, economia e finanças, a tendência geralmente é produzida por preferências, tecnologias e dados demográficos que evoluem lentamente. Esse comportamento de tendência pode ser para cima ou para baixo, íngreme ou não, e exponencial ou aproximadamente linear. Com esse padrão de tendência, uma série de tempo não é estacionária, não mostra uma tendência de reversão média. Nonstationarity na média, que é um nível não constante, pode ser modelado de diferentes maneiras. As alternativas mais comuns são tendências determinísticas e tendências estocásticas. Consideremos a extensão do teorema de decomposição de Wolds para séries não estacionárias fornecidas por Cramer (1961). Onde é um processo imobilizado médio zero. A mudança do significado de um processo ou tendência não-estacionário, pode ser representada por uma função determinista do tempo. Esses modelos para a tendência implicam que a tendência da série evolui de forma perfeitamente previsível, portanto, eles são chamados de modelos de tendência determinística. Por exemplo, se a função média segue uma tendência linear, pode-se usar o modelo de tendência linear determinista: o parâmetro é a interceptação é o valor da tendência no tempo e é a inclinação é positiva se a tendência for crescente e negativa se A tendência está diminuindo. Quanto maior o valor absoluto do mais íngreme, as tendências inclinam. Às vezes, a tendência parece não linear ou curvo, como, por exemplo, quando uma variável aumenta a uma taxa crescente ou decrescente. Na verdade, não é necessário que as tendências sejam lineares apenas que sejam suaves. Os modelos de tendências quadraticas podem potencialmente capturar não-linearidades, como as observadas em algumas séries. Tais tendências são quadráticas em oposição às funções lineares de tempo, as tendências polinomiais de ordem superior são algumas vezes consideradas, mas é importante usar polinômios de baixa ordem para manter a suavidade. Outros tipos de tendências não-lineares às vezes apropriadas são as tendências exponenciais. Se a tendência é caracterizada por um crescimento constante à taxa, podemos escrever: A tendência foi modelada como uma função não-linear (exponencial) do tempo nos níveis, mas nos logaritmos temos. Assim, a tendência é uma função linear do tempo. Esta situação, na qual uma tendência parece não linear em níveis, mas linear nos logaritmos é chamada tendência exponencial ou tendência log-linear e é muito comum na economia porque as variáveis econômicas geralmente apresentam taxas de crescimento aproximadamente constantes. Nonstationarity na média pode ser tratada dentro da classe dos modelos (4.7). Um modelo não é estacionário se seu polinômio não satisfizer a condição de estacionaridade, ou seja, se algumas de suas raízes não ficam fora do círculo da unidade. Se o polinômio contém pelo menos uma raiz dentro do círculo da unidade, o comportamento de uma realização do processo será explosivo. No entanto, este não é o tipo de evolução que pode ser observada em séries temporais econômicas e de negócios. Embora muitos deles não sejam estacionários, essas séries se comportam muito, exceto pela diferença nos níveis médios locais. Se quisermos modelar a evolução da série independente do seu nível dentro da estrutura dos modelos, o polinômio deve satisfazer: para que o polinômio possa ser factorizado como: Aplicando esta decomposição ao modelo geral: onde é um polinômio de ordem e. Se é um polinômio estacionário, dizemos que tem uma raiz autoregressiva de unidade. Quando o polinômio não estacionário apresenta mais de uma unidade de raiz, por exemplo, ele pode ser decomposto como: Aplicando novamente esta decomposição ao modelo geral que obtemos: para alguns onde é um polinômio estacionário de ordem. Em suma, se usarmos processos para modelar séries temporais não estacionárias, a não-estacionária leva à presença de raízes da unidade no polinômio autorregressivo. Em outras palavras, a série não é estacionária, mas sua série diferenciada, para alguns inteiros, segue um modelo estacionário e inversível. Um processo com essas características é chamado de processo integrado de ordem d e é denotado por. Pode-se notar que a ordem de integração de um processo é o número de diferenças necessárias para alcançar a estacionaridade, ou seja. O número de raízes da unidade presentes no processo. Na prática e os processos são, de longe, os casos mais importantes para as séries temporais econômicas e de negócios, resultando em séries muito menos freqüentes. Box e Jenkins (1976) referem-se a este tipo de comportamento não-estacionário como uma não-estacionária homogênea, indicando que o comportamento local desse tipo de série é independente do seu nível (para processos) e do seu nível e inclinação (para processos). Em geral, se a série estiver integrada de ordem, ela pode ser representada pelo seguinte modelo: onde o operador estacionário e o inversor não compartilham fatores comuns. O modelo não-estacionário homogêneo resultante (4.19) foi referido como o modelo de ordem da Mover da Moção Integrada Autoregressiva e é designado como o modelo. Quando, também é chamado de modelo de ordem da média movida integrada e é designado como o modelo. Quando, o modelo resultante é chamado de modelo Autoregressivo Integrado. A fim de obter mais informações sobre o tipo de comportamento não-estacionário implícito em processos integrados, vamos estudar com algum detalhe dois dos modelos mais simples: caminhada aleatória e caminhada aleatória com modelos de deriva. O modelo de caminhada aleatória é simplesmente um com coeficiente: e as estatísticas t da hipótese nula da raiz da unidade seguem a mesma distribuição como e respectivamente. Os valores mais comuns são zero e 1 em séries temporais econômicas e de negócios. É por isso que nos concentramos até agora no teste da hipótese nula de uma unidade de raiz contra a alternativa de estacionaria (possivelmente em desvios de uma tendência média ou linear). Mas é possível que as séries apresentam mais de uma unidade de raiz. Se queremos testar, em geral, a hipótese de que uma série é contra a alternativa que é, Dickey e Pantula (1987) sugerem seguir um procedimento seqüencial. Em primeiro lugar, devemos testar a hipótese nula de raízes unitárias contra a alternativa das raízes da unidade. Se rejeitarmos isso, então a hipótese nula das raízes da unidade deve ser testada contra a alternativa das raízes da unidade. Por último, a nula de uma unidade de raiz é testada contra a alternativa de estacionaria. O código XEGutsm07.xpl calcula a estatística ADF para testar a hipótese da raiz unitária para uma série simulada de caminhada aleatória de tamanho 1000. O valor de -0.93178, que rejeita a hipótese nula no nível de significância 5. Esta saída fornece também os valores críticos 1, 5, 10, 90, 95 e 99. Pode-se observar que as diferenças entre as distribuições da estatística t convencional e são importantes. Por exemplo, usando um nível de significância de 0,05, o valor crítico é -2,86 enquanto que a aproximação normal aos alunos é de -1,96 para amostras grandes. Se quisermos verificar a estacionariedade de uma série temporal ou uma combinação linear de séries temporais, seria interessante testar a hipótese nula de estacionaridade diretamente. Tendo em mente que a metodologia clássica de teste de hipóteses garante que a hipótese nula seja aceita, a menos que exista uma forte evidência contra ela, não é surpreendente que um bom número de trabalhos empíricos demonstre que os testes padrão da unidade-raiz não rejeitam a hipótese nula para muitos Séries temporais econômicas. Portanto, ao tentar decidir se os dados econômicos são estacionários ou integrados, seria útil realizar testes da hipótese nula da estacionança, bem como testes da hipótese nula da unidade-raiz. Kwiatkowski, Phillips, Schmidt e Shin (1992) (KPSS) desenvolveram um teste para a hipótese nula de estacionaria contra a alternativa da unidade de raiz. Consideremos o seguinte processo de geração de dados: o procedimento SSM Nome da TENDÊNCIA (tipo) ltoptions A declaração TREND define um termo no modelo que segue um padrão estocástico de um determinado tipo predefinido. As opções na declaração TREND permitem que você especifique uma grande variedade de padrões estocásticos comumente usados. Cada declaração TREND em vigor representa um par especial de instruções STATE e COMPONENT. Você pode especificar mais de uma declaração TREND. Cada declaração de TREND separada define um componente que é assumido como independente de todas as outras especificações de componentes no modelo. Muitas vezes, a declaração TREND é usada para especificar um componente que captura o nível de dados variando no tempo. No entanto, em muitos casos também é usado para definir componentes de natureza mais geral, por exemplo, ele pode ser usado para definir um componente de ruído que segue um modelo ARMA estacionário. Você pode se referir ao estado associado a uma declaração TREND anexando o estado da seqüência de caracteres ao final do seu nome. Por exemplo, o nome do estado é o estado que está associado a uma tendência denominada nome. Você pode usar o nome do nome em uma instrução COMPONENTE para definir uma combinação linear de seus elementos. A estimativa dessa combinação linear pode então ser impressa ou emitida para um conjunto de dados. A dimensão nominal do nome do nome é considerada como 1 ou o número de variáveis na lista especificada na opção CROSS na declaração TREND que é usada para definir o nome (veja o Exemplo 27.4 para um exemplo desse uso da instrução COMPONENT ). Algumas dessas especificações de tendências são aplicáveis a todos os tipos de dados, isto é, eles podem ser usados para tipos de dados regulares e tipos de dados irregulares, enquanto os outros exigem que os dados sejam regulares ou regulares com replicação. Claro, a especificação de tendência é apenas parte da especificação geral do modelo. Portanto, as outras partes do modelo podem implicar restrições adicionais no tipo de dados. A Tabela 27.3 lista os modelos de tendência disponíveis e seus requisitos de dados. A coluna de tipo mostra as palavras-chave admissíveis que significam o tipo de tendência específico. Por brevidade, a coluna Tipo de dados agrupa os tipos de dados regular e regular com replicação em uma categoria: regular. Para obter mais informações sobre esses modelos de tendência, consulte a seção Modelos de tendência predefinidos. Tabela 27.3: Resumo dos Tipos de Tendências A especificação de palavras-chave de diferentes tipos de tendências, exceto possivelmente a tendência ARIMA, é bastante simples. Por exemplo, a seguinte declaração especifica PolySpline como uma tendência do tipo de spline polinomial de segunda ordem. Da mesma forma, a seguinte declaração define dampedTrend como uma tendência linear local amortecida: o parâmetro de variância que rege a equação de inclinação desse tipo de tendência é dado por um Variável x. Que deve ser definido em outro lugar do programa. Os outros parâmetros que definem DampedTrend não são especificados (e são estimados usando os dados). A especificação de tendências ARIMA permite a especificação de tendências que seguem um modelo ARIMA (p, d, q) (P, D, Q). A especificação dos modelos ARIMA requer alguma notação, o que é explicado primeiro. Para alguns coeficientes e uma sequência de ruído branco. Um processo ARIMA é zero-médio, estacionário e inversível se. E os polinômios que definem e têm todas as suas raízes fora do círculo da unidade que é, seus valores absolutos são estritamente maiores do que 1,0. Supõe-se que os coeficientes dos polinômios e são restritos de modo que as condições de estacionaridade e inversibilidade sejam satisfeitas. Os coeficientes desconhecidos desses polinômios se tornam parte do vetor de parâmetros do modelo que é estimado usando os dados. A forma geral da especificação de tendência ARIMA é a seguinte: ARIMA (lt P integer lt D integer lt Q integer lt SP integer lt SD integer lt SQ integer lt S integer) Por padrão, as diferentes ordens são iguais a 0 e o comprimento da temporada É igual a 1. Os exemplos a seguir ilustram algumas especificações de tendências ARIMA diferentes. A seguinte declaração define a ima como uma tendência média móvel integrada: a seguinte declaração define o AirTrend como uma tendência que satisfaz o modelo de linha aérea bem conhecida (modelo ARIMA (0,1,1) (0,1,1) 12) mensalmente sazonais Dados: A seguinte declaração define arma11 como uma tendência ARMA (1,1) de média zero com parâmetro autorregressivo fixo para 0,1: Para um exemplo do uso da especificação de tendência ARIMA, veja o Exemplo 27.6. Você pode usar as seguintes opções na declaração TREND para especificar os parâmetros de tendência e solicitar a impressão das estimativas de tendências. Além disso, você pode criar uma combinação personalizada de um determinado tipo de tendência especificando a opção CROSS para criar uma tendência mais geral. Para um exemplo de usar a opção CROSS, veja a seção Introdução: Procedimento SSM e a discussão do segundo modelo no Exemplo 27.4. Você também pode verificar as mudanças inesperadas no componente de tendência usando a opção CHECKBREAK. Lista os valores dos coeficientes do polinômio autoregressivo não-sazonal onde a ordem é especificada na especificação de tendência ARIMA. Os coeficientes devem definir um polinômio autoregressivo estacionário. CHECKBREAKlt (ELEMENTWISE OVERALL) liga a verificação de intervalos para este componente de tendência. A subopção ELEMENTWISE solicita a verificação em elemento de qualquer alteração inesperada na subseção de estado associada ao componente de tendência. A subopção OVERALL solicita uma verificação semelhante para toda a subseção do estado, ou seja, neste caso, a alteração é medida como uma mudança multidimensional. A subopção ELEMENTWISE é a predefinição. A menos que a opção PRINTBREAKDETAIL seja especificada, apenas um resumo das quebras mais importantes é produzido. Se o PRINTBREAKDETAIL for especificado, as tabelas que contêm estatísticas de significância de quebra em cada ponto de tempo distinto são produzidas para a subopção ELEMENTWISE e outra para a subopção OVERALL. Se a opção CROSS for especificada e a lista CROSS contiver mais de uma variável, a subopção OVERALL considera subsecções associadas a cada variável CROSS separadamente. Para obter mais informações sobre o processo de detecção de quebras estruturais, consulte a seção Breaks Estruturais na Evolução do Estado. CROSS (var1, var2.) CROSS (MATCHPARM) (var1, var2.) Cria uma combinação linear de um ou mais componentes de tendência independentes baseados nas variáveis da lista. Se os parâmetros da tendência forem especificados por opções, como a opção LEVELVAR ou a opção PHI, esses parâmetros são compartilhados por essas tendências constituintes. Por exemplo, suponha que a lista CROSS contenha duas variáveis e a especificação de tendência é do tipo RW. O efeito de CROSS () é criar um componente. Onde e são duas tendências de caminhada aleatória independente. Além disso, se a especificação de tendência de caminhada aleatória usar a opção LEVELVAR para especificar o parâmetro de variância e compartilhar o mesmo parâmetro de variância de outra forma, dois parâmetros de variância separados são atribuídos a essas caminhadas aleatórias. Se a segunda forma da opção CROSS, CROSS (MATCHPARM), é usada, as tendências constituintes compartilham todos os parâmetros relevantes, independentemente de como eles são especificados. A opção CROSS é útil para uma variedade de situações. Por exemplo, suponha que seja uma variável de indicador que seja 1 antes de um certo ponto de tempo e 0 depois disso. Então CROSS (X) tem o efeito de desligar o componente de tendência após o tempo. Da mesma forma, suponha e são indicadores para gênero, por exemplo, (GENDER1) e (GENDER0) para casos masculinos e femininos, respectivamente. Então CROSS () resulta em tendências separadas de acordo com o gênero. As variáveis na lista CROSS devem estar livres de parâmetros desconhecidos. A opção CROSS pode ser computacionalmente computacional, é equivalente a especificar tantas tendências separadas quanto o número de variáveis na lista especificada. O número de variável LEVELVAR especifica o parâmetro de variância de perturbação para todos os tipos de tendências. Para tipos de tendência LL e DLL, esta opção especifica. Qualquer valor não negativo, incluindo 0, é permitido. Se a variável contiver parâmetros desconhecidos, eles são estimados a partir dos dados. Da mesma forma, se a opção LEVELVAR não for especificada, é estimada a partir dos dados. Lista os valores dos coeficientes do polinômio de média móvel não sazonal, onde a ordem é especificada na especificação de tendência ARIMA. Os coeficientes devem definir um polinômio de média móvel reversível. Faz com que os elementos difusos no estado inicial da subseção de estado subjacente ao componente de tendência sejam tratados como não difundidos. Esta opção é aplicável a todos os tipos de tendências, exceto ARIMA. Para o tipo de tendência ARIMA, esta opção é ignorada, mesmo que as ordens de diferenciação não sazonais ou sazonais sejam diferentes de zero. Os elementos difusos são assumidos como variáveis gaussianas independentes, de média zero. Suas variâncias se tornam parte do vetor de parâmetros e são estimadas usando os dados. Esta opção é útil para criar um componente de tendência que pode ser interpretado como um desvio de um componente de tendência geral (com inicialização difusa), que é definido separadamente. O número de variável PHI especifica o valor de tipos de tendência DLL, DECAY, DECAY (OU), CRESCIMENTO e CRESCIMENTO (OU). Para o tipo DLL, o valor especificado deve estar entre 0,0 e 1,0. Para os tipos DECAY e DECAY (OU), deve ser estritamente negativo. Para os tipos de CRESCIMENTO e CRESCIMENTO (OU), deve ser estritamente positivo. Se a variável contiver parâmetros desconhecidos, eles são estimados a partir dos dados. Da mesma forma, se a opção PHI não for especificada, é estimada a partir dos dados. PRINTBREAKDETAIL COV COV1 FILTER SMOOTH T PRINT (ltBREAKDETAIL ltCOV ltCOV1 ltFILTER ltSMOOTH ltT) solicita a impressão das respectivas matrizes de sistema da equação de estado que está subjacente à tendência especificada, a impressão de suas estimativas filtradas e suavizadas e a impressão das estatísticas de quebra em cada Ponto de tempo distinto. Para que a subopção BREAKDETAIL tenha algum efeito, a opção CHECKBREAK deve estar ativada. Se qualquer uma dessas matrizes estiver variando no tempo, a matriz que corresponde à instância da primeira vez é impressa. Lista os valores dos coeficientes do polinômio autoregressivo sazonal onde a ordem é especificada usando a opção SP na especificação de tendência ARIMA e o comprimento da estação é especificado na opção S. Os coeficientes devem definir um polinômio autoregressivo estacionário. Lista os valores dos coeficientes do polinômio da média móvel sazonal onde a ordem é especificada usando a opção SQ na especificação da tendência ARIMA e o comprimento da estação é especificado na opção S. Os coeficientes devem definir um polinômio de média móvel reversível. O número de variável SLOPEVAR especifica o segundo parâmetro de variância de perturbação,. Para tipos de tendência LL e DLL. Qualquer valor não negativo, incluindo 0, é permitido. Se a variável contiver parâmetros desconhecidos, eles são estimados a partir dos dados. Da mesma forma, se a opção SLOPEVAR não for especificada, é estimada a partir dos dados. Copyright SAS Institute Inc. Todos os direitos reservados.
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